Высшая математика: матрицы

Тема матрицы из курса высшей математики.

Сообщить о нарушении/ошибке
Высшая математика: матрицы







Что такое матрица?

Матрица – это таблица элементов, каждый из которых характеризуется не только своим значением, но и местом расположения в таблице.

Пример (матрица 3*5):

 

A (n*m), где n – число строк, а m – число столбцов.

A (n*n) – квадратная матрица

A (1*m) – матрица строка

A (n*1) – матрица столбец

Aij, где i – номер строки, а j – номер столбца.

Виды матриц

  1. Нулевая матрица

 

  1. Диагональная матрица

 

  1. Единичная матрица (E)

 

  1. Транспонированная матрица

AT = B

bij = aji

A =

 

AT =

 

При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами.

 

  1. Треугольная матрица

A =

 

Пример:

 

  1. Симметричная матрица

А (n*n) = ||aj||

aij = 0ji

A =

 

Свойства линейных операций с матрицами

  1. Коммутативность (перестановка)

A + B = B + A

A * α = α * A

  1. Ассоциативность (группировка)

(A + B) + C = A +(C + B)

  1. Дистрибутивность (управление)

(A + B) * α = α * A + α * B

Пример:

Найти f (A), если f (x) = 3x + 4

A =

 

F (A) = 3 * A + 4 * E

(E – единичная матрица)

 

Нелинейные операции с матрицами

  1. Вычитание матриц

Пример:

Из матрицы

вычитаем матрицу

Получается

 

6 – 1 = 5

8 – 4 = 4

7 – 3 = 4

2 – 2 = 0

7 – 5 = 2

8 – 8 = 0

3 – 3 = 0

6 – 6 = 0

9 – 3 = 6

  1. Сложение матриц

Пример:

К матрице

прибавляем матрицу

Получается

 

6 + 1 = 7

8 + 4 = 12

7 + 3 = 10

2 + 2 = 4

7 + 5 = 12

8 + 8 = 16

3 + 3 = 6

6 + 5 = 11

9 + 3 = 12

  1. Умножение матриц

Пример:

Матрицу

умножаем на матрицу

Получается

 

1 * 5 + 2 * 7 = 19

1 * 1 + 2 * 8 = 17

4 * 5 + 5 * 7 = 55

4 * 1 + 5 * 8 = 44